비유클리드 기하의 세계 - 기하학의 원점을 탐구하다 (데라사카 히데다카, 2019)

책소개
하나의 직선 밖에 있는 한 점을 지나고 이 직선과 평행인 직선은 단지 한 개밖에 그을 수 없다는 것이 옛날부터 있었던 보통의 유클리드 기하이다. 그런데 이러한 기하 이외에도 평행선을 한 개만이 아니고 두 개나 그을 수 있다는 불가사의한 비유클리드 기하라는 존재를 발견한 지 벌써 100년 이상 지나고 있다.

이 책은 비유클리드 기하의 존재만이라면 모델을 만드는 것으로 이미 문제는 해결된 셈이지만 앞으로 어느 정도까지 비유클리드 기하를 연구할 필요가 있는지, 그 가치판단을 하려다 보면 매우 어렵다고 말한다. 이 미지의 영역을 개척하려면 꿈과 용기와 힘의 세 가지를 갖춘 천재가 필요하며, 이 세 가지는 젊은 사람만이 가지는 특권이라고 말이다.

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목차
머리말

1부 유클리드 기하에서 비유클리드 기하로
1. 평행선은 어떻게 보이는가
2. 유클리드의 『원론』을 보다
3. 평행선이란 무엇인가
4. 비유클리드 기하로의 접근
5. 비유클리드 기하의 모델?

2부 비유클리드 기하의 발견
1. 석학 르장드르의 공적
2. 수학의 왕자 가우스
3. 가우스와 W. 볼리아이의 만남
4. 가우스의 비유클리드 기하
5. 가우스의 기록
6. 비운의 부자 W. 볼리아이와 J. 볼리아이
볼리아이 부자와 가우스
아버지 볼리아이의 놀라움
7. J. 볼리아이, 마침내 비유클리드 기하를 발견
8. 최초의 비유클리드 기하의 발견자, 로바제프스키
허(虛)의 기하
수수께끼 풀기
9.비유클리드 기하의 보급
리만의 출현
클라인과 모델

3부 비유클리드 기하의 모델
1. 먼저 구면에 친숙해지자
2. 모델을 반구면상에 만든다
평면 S+와 점과 직선 (UV)
경영(鏡映)
합동변환
원
선분의 길이
합동변환과 비유클리드 기하
타원 기하
3종의 기하

부록 보충강의
<보강 1> 사케리, 르장르드의 두 정리
<보강 2> 트레미의 정리의 역
<보강 3> 원의 내부에 비유클리드 기하의 모델을 만든다
<보강 4> 각과 복비
<보강 5> 삼각형의 내각의 합, 다각형의 넓이
<보강 6> 평행선각의 계산
<보강 7> 직각 삼각형의 세 변 사이의 관계
<보강 8> 곡면 S+상의 미분 기하와 원둘레의 길이
<보강 9> 유리덩어리 3개를 갈아서 맞추어 평면을 만들 수 있는가
후기

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출판사 제공 책소개

기하학의 불가사의, 발견을 위한 고뇌의 역사!
하나의 직선 밖에 있는 한 점을 지나고 이 직선과 평행인 직선은 단지 한 개밖에 그을 수 없다는 것이 옛날부터 있었던 보통의 유클리드 기하이다. 그런데 이러한 기하 이외에도 평행선을 한 개만이 아니고 두 개나 그을 수 있다는 불가사의한 비유클리드 기하라는 존재를 발견한 지 벌써 100년 이상 지나고 있다. 이런 불합리한 일이 수학이라는 학문에서 일어나도 되는 것일까?

 

이 책은 비유클리드 기하의 존재만이라면 모델을 만드는 것으로 이미 문제는 해결된 셈이지만 앞으로 어느 정도까지 비유클리드 기하를 연구할 필요가 있는지, 그 가치판단을 하려다 보면 매우 어렵다고 말한다. 이 미지의 영역을 개척하려면 꿈과 용기와 힘(수학을 자유로이 조작하는 기술)의 세 가지를 갖춘 천재가 필요하며, 이 세 가지는 젊은 사람만이 가지는 특권이라고 말이다.

평행선이란 같은 평면상에 있고 서로 교차하지 않는 두 직선을 말한다. 그러면 이 평행선은 어떻게 보이는 것일까? 예컨대 동서로 똑바로 뻗은 선로와도 같이 평행인 두 직선은 지평선의 한 점으로 모여 있는 것처럼 보인다. 동쪽을 보아도 서쪽을 보아도… 그러면 평행선이란 두 개의 무한원점에서 교차하고 있는 직선인 것일까?
이 책과 함께 이러한 소박한 의문을 쫓고 있는 동안 어느 사이엔가 당신은 기하학이란 어떠한 학문인가를 깨닫고 비유클리드기하의 세계에 발을 들여놓고 있는 자신을 알아차릴 것이다.