무한의 끝에 무엇이 있을까 - 현대 수학으로 마주하는 수학의 본질 (아다치 노리오, 2018)

책소개
수학이라는 이질적인 문화의 벽을 넘을 수 있도록, 누구나 한 번쯤 궁금했을 만한 화제를 통해 수학의 세계관을 풀어나간다. 제곱하면 음수가 되는 ‘허수’, 비유클리드 기하학, 논리와 집합, 무한, 괴델의 불완전성 정리 등 난해한 개념도 알기 쉽게 설명한다.

학교 교육에서는 짧은 시간 동안 되도록 많은 지식을 주입해야 하므로, 수란 무엇이며 공리란 무엇인지 고찰할 시간이 없다. 그런 탓에 상당히 고도의 지식을 가르치기는 하지만, 수학을 체계적이고 본격적으로 이해하기 위해 꼭 필요한 ‘왜’라는 고민과 전반적인 고찰을 완전히 무시하고 있다. 그 독특하면서도 이질적인 발상 때문에 이해하기 어려운 수학을 현대 수학의 관점에서 차근차근 해설하고 있다.

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목차
들어가며 ‘이질적인 문화’로의 초대장
__“자연이라는 책은 수학이라는 언어로 쓰여 있다.” (갈릴레오)
__수학은 하나의 문화다
__이러한 ‘이질적인 문화’를 이해하기 위해서

1장 허수란 무엇인가
__1. 존재와 비존재의 양서류
__2. 허수의 탄생
__3. 허수가 연 세상
__4. 허수보다도 불가사의한 실수

2장 삼각형 내각의 합은 정말로 180도인가
__1. ‘우주’의 기하학
__2. 비유클리드 기하의 세계상
__3. 모델과 현실
__4. ‘의미’에서 벗어나다

3장 1+1은 왜 2인가
__1. 수에 관한 ‘진리’란
__2. ‘집합’의 위력
__3. 기호로 ‘논리’를 표현한다
__4. 영(0)에서 출발하기
__5. 결국 1+1이란 무엇인가

4장 무한이란 무엇인가
__1. ‘실무한’과 ‘가무한’
__2. ‘극한’이라는 이름의 가무한
__3. ‘집합’이라는 이름의 실무한
__4. 자신이 옳다는 사실을 스스로 증명할 수는 없다

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그동안 몰랐던.... 수학의 본모습을 만나다

지금까지 수학을 고전적인 방법으로 실제 사물이나 이미지와 연관해서 배웠다면, 이제는 한 번쯤 현대 수학의 관점에서 수학이 실재와는 무관하며 오직 논리로만 구성된 학문이란 것을 살펴보고 넘어갈 필요가 있다.
이 책에서는 수학이라는 이질적인 문화의 벽을 넘을 수 있도록, 누구나 한 번쯤 궁금했을 만한 화제를 통해 수학의 세계관을 풀어나간다. 제곱하면 음수가 되는 ‘허수’, 비유클리드 기하학, 논리와 집합, 무한, 괴델의 불완전성 정리 등 난해한 개념도 알기 쉽게 설명한다. 이 책을 읽고 나면 한 번쯤 수학자를 꿈꾸는 자신을 발견할지도 모르겠다.

“자연이라는 책은 수학이라는 언어로 쓰여 있다.” - 갈릴레오 갈릴레이(Galileo Galilei)

갈릴레오의 말처럼, 수학은 모든 과학의 공통 언어다. 수학은 단순한 계산이 아니라 철학, 문화, 사회적인 산물이기도 하다. 따라서 수학에 관한 기본적인 이해 없이는 어떠한 세계관도 있을 수 없다. 실제로 수학은 현대 지식인의 조건으로 빼놓을 수 없다고 할 만큼 보편적이고 깊은 사상을 갖추고 있다.

하지만 어째서 수학은 그토록 멀게 느껴지는 걸까? 왜 그리도 알기 어려운 ‘이질적인 문화’인 것일까?

누구나 고등학교에 들어서면 갑자기 수학이 어렵게 느껴지는 순간이 온다. 그래서 '수포자'라는 말이 나온 건지도 모르겠다. 학교 교육에서는 짧은 시간 동안 되도록 많은 지식을 주입해야 하므로, 수란 무엇이며 공리란 무엇인지 고찰할 시간이 없다. 그런 탓에 상당히 고도의 지식을 가르치기는 하지만, 수학을 체계적이고 본격적으로 이해하기 위해 꼭 필요한 ‘왜’라는 고민과 전반적인 고찰을 완전히 무시하고 있다. 만사가 이런 식이다 보니 수학을 도구로 삼는 이공계 전공자마저도 수학의 ‘정신’을 모를 때가 있다.

이 책에서는 바로 그 독특하면서도 이질적인 발상 때문에 이해하기 어려운 수학을 현대 수학의 관점에서 차근차근 해설하고 있다. 다소 어렵다고 해도 회피하지 않고 직접 그 ‘이질적인 문화’를 체험하는 방법을 택했으므로, 끈기 있게 잘 따라온다면 그동안 몰랐던 수학의 본모습을 마주하게 될 것이다.